March 30th, 2016

Бритоголовый и С1-97

Про школьную математику

По интернетикам ходит вот такая пара картинок, с подписями “Было”:

math_old

И “Стало”:

math_new

Нам предлагают сделать из этого вывод, что раньше школьное образование было ого-го-го, а нынешние выпускники – все сплошь “жертвы ЕГЭ”. Утверждаю, что:

а) сложность “профильного” ЕГЭ не уступает “традиционному” экзамену, а “базовый” предназначен исключительно для отсева клинических дебилов, каким-то образом просочившихся в 11 класс;
б) те, кто занимается перепостами этой пары картинок – ничего не понимают в математике.

Утверждение а) проще всего проиллюстрировать ссылкой на интервью с Иваном Ященко:

http://polit.ru/article/2013/06/03/ps_jashenko/

ЕГЭ, особенно “базовый”, видится его авторам, как экзамен на “аттестат зрелости”. Если человек не собирается связывать свою дальнейшую жизнь с математикой в той или иной мере – зачем ему вот эти закорючки из второго варианта? Достаточно убедиться лишь в том, что он умеет немного считать, решать какие-то несложные уравнения, понимает, что такое графики… – в общем, сами смотрите вариант для базового уровня или открытый банк заданий. Не справиться с базовым уровнем (то есть не решить хотя бы 4 задачи оттуда) может лишь клинический дебил. “Профильный” же уровень заметно сложнее варианта на первой картинке.

Кстати, я даже догадываюсь, откуда взялось задание под номером 9. Если бы вы только знали, сколько школьников, получив в текстовой задаче какие-то невменяемые значения (типа скорости пешехода в 55 км/ч или высоты здания в пару сантиметров), нисколько не сомневаются в результате! Экзамен – это не только проверка знаний учащихся, но и важнейший инструмент “обратной связи”. Как понять, знают ли вообще школьники, что такое метр, килограмм, секунда? Давайте дадим вот такую элементарную задачку! Думаю, по итогам будут сделаны некоторые выводы довольно “глобального” масштаба.

Что же касается выпускного экзамена 1991 года – то “идейно” он недалеко ушел от “полного” базового ЕГЭ (первых 20 задач). Да, там немного больше синусов, косинусов и логарифмов – но он настолько идейно беден, что сводится к проверке самых элементарных навыков. Кратенько прокомментирую эти 6 задач:

Задача 1 – тригонометрическое уравнение, решается применением формул приведения и сведением к квадратному уравнению относительно sin x.

Задача 2 – аналогично бездумно применяем элементарные свойства логарифмов, получаем квадратное уравнение. Главное – не забыть аккуратно учесть область определения.

Задача 3 – сводится к сравнению квадратного корня из 7 и 3. Решается в уме.

Задача 4 – построить график, посчитать два определенных интеграла. Плод попытки протащить в школу “начала анализа”, по моему мнению – исключительно вредной. Вместо “анализа” получаем бездумное натаскивание на какие-то непонятные действия под названием “дифференцирование” и “интегрирование”. В курсе алгебры что-то подобное называлось “формальным дифференцированием” – и это название прекрасно передает суть происходящего!

Задача 5 – онанизм. Механически сконструированная функция и не менее идиотское задание “найдите область определения”. Сводится к проверке того, что π/2 < 3 < π.

Задача 6 - если в №5 мы занимались "формальным интегрированием" - то здесь требуется "формальное дифференцирование" и механический навык поиска экстремумов - продифференцировать, найти нули производной, подставить 4 значения x, сравнить. К математике это не имеет ни малейшего отношения. Опять же, появление такого в школе – крайне вредно, так как объяснить на приемлемом уровне смысл дифференцирования в школе невозможно, и все сводится к зубрежке описанного выше волшебного рецепта.

Все эти задачи решаются бездумно, в одно-два элементарных действия, и пусть вас не пугают закорючки типа sin и log – достаточно знать лишь самые элементарные свойства этих функций. Считать этот вариант сложным в сравнении с базовым ЕГЭ – где точно так же присутствуют задачи на знание свойств элементарных функций – может лишь человек, окончательно забывший школьную математику, но сохранивший вбитый школой ужас перед вот этими закорючками. Тем смешнее разговоры про “гибкость ума и логику” из обсуждения этих картинок.

Запись опубликована в блоге Шуры Люберецкого. Вы можете оставлять свои комментарии там, используя свое имя пользователя из ЖЖ (вход по OpenID).

Бритоголовый и С1-97

Math Toolkit for Real-Time Development

Прочитал совершенно замечательную книжку Jack Crenshaw “Math Toolkit for Real-Time Development”. Хоть она и предназначена в первую очередь для программистов “встраиваемых систем” – читал с большим удовольствием. А почему? А просто потому, что она в первую очередь – про математику, а не про программирование.

Любой относительно нормальный программист почти не задумывается над тем, как реализованы функции из “стандартной” математической библиотеки. Крайне нечасто возникают и задачи, где надо как-то учитывать, скажем, ограниченную точность чисел с плавающей запятой. Во вводных курсах программирования такие вещи практически никогда не рассматривают, а если и рассматривают – то неправильно. Например, я был в свое время очень удивлен, когда узнал, что некоторые вполне себе профессиональные программисты не имеют никакого представления об IEEE 754, и искренне считают, что вещественные числа в Delphi ведут себя так же, как вещественные числа в школьной математике.

Почему речь идет именно про “встраиваемые системы”? Книжка написана в 2000 году, задолго до того, как появилось представление об Internet of Things – и встраиваемые системы оставались последним местом, где жила всякая экзотика типа восьми- и шестнадцатибитных процессоров. Сейчас это уже немного не так, всякие PIC и AVR в более-менее серьезных местах найти уже трудно, а даже самой простенькой техникой рулят микроконтроллеры, которые по своим характеристикам уже вплотную подбираются к моему первому компьютеру (и заметьте – начинал я отнюдь не со “Спектрума”, я еще не настолько стар!). В общем, о практическом применении этой книжки можно и поспорить.

В общем, будем считать, что эта книга со временем все больше и больше приближается к “чистой”, то есть совершенно бесполезной, математике. Глобально в ней рассматриваются две темы – реализация некоторых “математических” функций, обычно входящих в стандартную библиотеку, и некоторые численные методы – дифференцирование, интегрирование и решение задачи Коши для дифференциальных уравнений. Первая из них возникала в мехматовском “Программировании и работе на ЭВМ”, вторая – в том или ином виде присутствовала в течение всех четырех лет, что на мехмате читается курс околокомпьютерных наук (речь о 2005-2010 годах, сейчас что-то немного поменялось) – но в целом я бы отнес это к второму семестру.

Что можно сказать про первую тему? Да, писать собственные синусы с косинусами приходится немногим. Но очень и очень немногие при необходимости смогут сделать это правильно. Из “остаточных знаний” второго семестра я смог бы навскидку назвать лишь пару-тройку из тех “подводных камней”, что упоминаются в книге. О некоторых вещах речь вообще не заходила ни разу и они оказались для меня сюрпризом. Более того, даже для сравнительно простой задачи – вычисления квадратного корня – приводится несколько алгоритмов, отличающихся требованиями по точности, скорости, наличию или отсутствию математического сопроцессора. Если вам вдруг захочется реализовать вычисление квадратного корня на каком-нибудь AVR – есть и “целочисленный” алгоритм.

Один из шедевров, не побоюсь этого слова, приведенных в книге – функция bitlog(), приближенно вычисляющая логарифм. Вместе с ее кодом – который можно смело использовать для любых Obfuscated C Contest – приводится подробнейшее описание, как и почему она работает.

/* Bitlog function
*
* Invented by Tom Lehman at Invivo Research, Inc.,
* ca. 1990
*
* Gives an integer analog of the log function
* For large x,
*
* B(x) = 8*(log(base 2)(x) – 1)
*/
short bitlog(unsigned long n)
{
    short b;
    // shorten computation for small numbers
    if(n <= 8)
        return (short)(2 * n);
    // find the highest non-zero bit
    b=31;
    while((b > 2) && ((long)n > 0))
    {
        --b;
        n <<= 1;
    }
    n &= 0x70000000;
    n >>= 28;
    cout << b << ' ' << n << endl;
    return (short)n + 8 * (b - 1);
}

Впечатляет? А в книге описано, как подобные алгоритмы разрабатывать, с оценками точности и так далее.

Вторая группа вопросов, разобранных в этой книге - численные методы. Уровень математической строгости, конечно, уступает "кирпичу" Бахвалова, да и первой части этой же книги - но дело в том, что для понимания численного дифференцирования и интегрирования надо хотя бы немного знать о дифференцировании и интегрировании обычном - на что американский автор книги для программистов рассчитывать никак не может. Тем не менее, приводятся несколько формул численного дифференцирования и интегрирования с оценками их точности и читатель даже подводится к одному из способов построения таких формул - представить, что функция приближена многочленом, и добиться того, чтобы для многочленов рассматриваемая функция была бы точной.

Для дифференциальных уравнений довольно подробно рассматриваются методы Адамса (многошаговый) и Рунге-Кутты. Опять же, так как с точки зрения программирования они тривиальны, много внимания уделяется получению формул для расчетов. Это все вполне доступно второкурснику мехмата (или любому, кто осилил формулу Тейлора и азы программирования), так что вполне можно обозвать книжку "Кратким введением в численные методы".

Что очень важно - такого рода "элементарного" учебника на русском языке я припомнить не могу. Учебники по численным методам рассчитаны на студентов где-то 4 курса и обычно требуют неплохой математической подготовки вместе с серьезным "погружением" в предмет. Книги "для программистов" обходят численные методы стороной - тема эта все-таки довольно специфическая. Ценность же этой книги - в том, что в ней рассматриваются некоторые неочевидные приемы, о которых, как я помню, действительно упоминалось на семинарах - но они сохранились у меня в лучшем случае в виде "остаточных знаний", а в худшем - "вроде это было вот в той книжке" (а по численным методам пришлось почитать довольно много чего интересного, спасибо И. С. Григорьеву и его отношению к прогульщикам-халявщикам).

В общем, мне понравилось.

Запись опубликована в блоге Шуры Люберецкого. Вы можете оставлять свои комментарии там, используя свое имя пользователя из ЖЖ (вход по OpenID).